Задача 1
Условие (кратко)
Периметр треугольника 24 см, длины сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли найти длину хотя бы одной стороны? Какие целые значения могут принимать длины сторон?
Решение
Дано
- стороны \(a - d\)
- \(a\)
- \(a + d\) (можно считать \(d \ge 0\))
- периметр 24 см
Найти
- одну из сторон и все целые варианты
Периметр: \((a - d) + a + (a + d) = 3a = 24\), значит, \(a = 8\) см — средняя сторона известна всегда.
Неравенство треугольника для большей стороны: \((8 - d) + 8 > 8 + d\), откуда \(d < 4\). При целых сторонах \(d\) — целое, \(d = 0, 1, 2, 3\):
\[8,\ 8,\ 8;\quad 7,\ 8,\ 9;\quad 6,\ 8,\ 10;\quad 5,\ 8,\ 11.\]
Ответ
Да, средняя сторона 8 см. Целые варианты: 8, 8, 8; 7, 8, 9; 6, 8, 10; 5, 8, 11 (см)
Почему так
Сумма трёх членов прогрессии равна утроенному среднему; разность ограничена неравенством треугольника.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».