Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 643

Задача 1

Условие (кратко)

а) Верно ли, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то a₂; a₄; …; a₂ₙ; … — арифметическая прогрессия?

Решение

Разность соседних членов новой последовательности:

a_{2n+2} - a_{2n} = (a_{2n} + 2d) - a_{2n} = 2d

— одно и то же число. Значит, это арифметическая прогрессия с разностью

\(2d\)

Ответ

Да, с разностью 2d

Почему так

Последовательность — арифметическая прогрессия, если разность соседних членов постоянна.

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Верно ли, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то a₁ − 1; a₂ − 1; …; aₙ − 1; … — арифметическая прогрессия?

Решение

$(a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - a_n = d$ — постоянная. Это арифметическая прогрессия с той же разностью $$d$$ .

Ответ

Да, с той же разностью d

Почему так

Сдвиг всех членов на одно число не меняет разность соседних членов.

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Верно ли, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то 2a₁; 2a₂; …; 2aₙ; … — арифметическая прогрессия?

Решение

$2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n) = 2d$ — постоянная. Это арифметическая прогрессия с разностью $$2d$$ .

Ответ

Да, с разностью 2d

Почему так

При умножении всех членов на число разность умножается на то же число.

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Верно ли, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то a₁²; a₂²; …; aₙ²; … — арифметическая прогрессия?

Решение

$a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n) = d\,(2a_1 + (2n - 1)d)$ . При $d \ne 0$ это выражение зависит от $$n$$ , то есть разность не постоянна.

Пример: $1,\ 2,\ 3$ — прогрессия, а $1,\ 4,\ 9$ — нет ( $$4 - 1 = 3$$ , $$9 - 4 = 5$$ ). Утверждение верно только для постоянной последовательности ( $$d = 0$$ ).

Ответ

Нет (в общем случае); верно лишь при d = 0

Почему так

Разность квадратов соседних членов равна d(aₙ₊₁ + aₙ) и меняется с номером.

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-643/