Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 648

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что если (yₙ) — арифметическая прогрессия, то y₂ + y₇ = y₄ + y₅.

Решение

Выразим всё через $$y_1$$ и $$d$$ :

y_2 + y_7 = (y_1 + d) + (y_1 + 6d) = 2y_1 + 7d,\qquad y_4 + y_5 = (y_1 + 3d) + (y_1 + 4d) = 2y_1 + 7d.

Суммы равны, что и требовалось доказать.

Ответ

Обе суммы равны 2y₁ + 7d

Почему так

Сумма двух членов зависит только от суммы их номеров: 2 + 7 = 4 + 5.

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что если (yₙ) — арифметическая прогрессия, то yₙ₋₅ + yₙ₊₁₀ = yₙ + yₙ₊₅, где n > 5.

Решение

y_{n-5} + y_{n+10} = (y_1 + (n - 6)d) + (y_1 + (n + 9)d) = 2y_1 + (2n + 3)d,

y_n + y_{n+5} = (y_1 + (n - 1)d) + (y_1 + (n + 4)d) = 2y_1 + (2n + 3)d.

Суммы равны, что и требовалось доказать.

Ответ

Обе суммы равны 2y₁ + (2n + 3)d

Почему так

Суммы номеров совпадают: (n − 5) + (n + 10) = n + (n + 5).

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-648/