Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 669

Задача 1

Условие (кратко)

а) (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность x₁ + 1; x₂ + 1; …; xₙ + 1; …?

Решение

В общем случае нет. Пример: $1,\ 2,\ 4$ — прогрессия с $$q = 2$$ , а $2,\ 3,\ 5$ — нет: $\dfrac32 \ne \dfrac53$ .

(Исключение — постоянная прогрессия, $$q = 1$$ , при $x_1 \ne -1$ : тогда $$x_n + 1$$ тоже постоянна и не равна нулю.)

Ответ

Нет, в общем случае (кроме q = 1, x₁ ≠ −1)

Почему так

Прибавление числа не сохраняет отношение соседних членов — достаточно контрпримера.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность 3x₁; 3x₂; …; 3xₙ; …?

Решение

$\dfrac{3x_{n+1}}{3x_n} = \dfrac{x_{n+1}}{x_n} = q$ , все члены не равны нулю. Да, знаменатель тот же, $$q$$ .

Ответ

Да, со знаменателем q

Почему так

Умножение всех членов на ненулевое число не меняет отношение соседних членов.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 3

Условие (кратко)

в) (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность x₁²; x₂²; …; xₙ²; …?

Решение

$\dfrac{x_{n+1}^2}{x_n^2} = \left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2 = q^2$ — постоянное число, члены не нули. Да, знаменатель $$q^2$$ .

Ответ

Да, со знаменателем q²

Почему так

Отношение квадратов соседних членов равно квадрату их отношения.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 4

Условие (кратко)

г) (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность 1/x₁; 1/x₂; …; 1/xₙ; …?

Решение

$\dfrac{1/x_{n+1}}{1/x_n} = \dfrac{x_n}{x_{n+1}} = \dfrac1q$ — постоянное число. Да, знаменатель $\dfrac1q$ .

Ответ

Да, со знаменателем 1/q

Почему так

Отношение обратных величин соседних членов равно 1/q.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-669/