Задача 1
Условие (кратко)
Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?
Решение
Да, например \(5,\ 5,\ 5\): это арифметическая прогрессия с \(d = 0\) и геометрическая с \(q = 1\).
Других нет. Если \(a, b, c\) — обе прогрессии, то \(2b = a + c\) и \(b^2 = ac\). Тогда \(\dfrac{(a + c)^2}{4} = ac\), то есть \((a - c)^2 = 0\), \(a = c\), и \(b = a\). Числа равны (и не равны нулю, иначе нет геометрической прогрессии).
Ответ
Да: три равных ненулевых числа, например 5, 5, 5 (и только такие)
Почему так
Характеристические свойства: 2b = a + c и b² = ac одновременно дают a = b = c.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».