а) Является ли (xₙ) геометрической прогрессией, если xₙ = 2ⁿ?
\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2\) — постоянно. Да, \(q = 2\).
Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение соседних членов постоянно.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».
б) Является ли (xₙ) геометрической прогрессией, если xₙ = 3⁻ⁿ?
\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{3^{-n-1}}{3^{-n}} = \dfrac13\) — постоянно. Да, \(q = \dfrac13\).
Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение соседних членов постоянно.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».
в) Является ли (xₙ) геометрической прогрессией, если xₙ = n²?
\(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\), \(x_3 = 9\): \(\dfrac41 = 4\), а \(\dfrac94 \ne 4\). Нет.
Отношение (n + 1)²/n² зависит от n — проверяем на первых членах.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».
г) Является ли (xₙ) геометрической прогрессией, если xₙ = abⁿ, где a ≠ 0, b ≠ 0?
Все члены не равны нулю, \(\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{ab^{n+1}}{ab^n} = b\). Да, \(q = b\), \(x_1 = ab\).
Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение соседних членов постоянно.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-671/