Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 674

Задача 1

Условие (кратко)

а) (bₙ) — геометрическая прогрессия. Доказать: если b₁ > 0 и q > 1, то каждый следующий член больше предыдущего. Привести пример.

Решение

$b_{n+1} - b_n = b_1q^n - b_1q^{n-1} = b_1q^{n-1}(q - 1)$ . При $$q > 0$$ множитель $q^{n-1} > 0$ , поэтому знак разности — это знак $$b_1(q - 1)$$ .

$$b_1 > 0$$ и $$q - 1 > 0$$ , произведение положительно: $b_{n+1} > b_n$ .

Пример: $1;\ 2;\ 4;\ 8;\ \dots$ ( $$q = 2$$ ).

Ответ

Разность b₁qⁿ⁻¹(q − 1) > 0; пример 1; 2; 4; 8; …

Почему так

bₙ₊₁ − bₙ = b₁qⁿ⁻¹(q − 1): знак определяется знаками b₁ и q − 1, так как qⁿ⁻¹ > 0.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (bₙ) — геометрическая прогрессия. Доказать: если b₁ > 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член меньше предыдущего. Привести пример.

Решение

$b_{n+1} - b_n = b_1q^n - b_1q^{n-1} = b_1q^{n-1}(q - 1)$ . При $$q > 0$$ множитель $q^{n-1} > 0$ , поэтому знак разности — это знак $$b_1(q - 1)$$ .

$$b_1 > 0$$ , $$q - 1 < 0$$ , произведение отрицательно: $b_{n+1} < b_n$ .

Пример: $16;\ 8;\ 4;\ 2;\ \dots$ ( $q = \dfrac12$ ).

Ответ

Разность b₁qⁿ⁻¹(q − 1) < 0; пример 16; 8; 4; 2; …

Почему так

bₙ₊₁ − bₙ = b₁qⁿ⁻¹(q − 1): знак определяется знаками b₁ и q − 1, так как qⁿ⁻¹ > 0.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 3

Условие (кратко)

в) (bₙ) — геометрическая прогрессия. Доказать: если b₁ < 0 и q > 1, то каждый следующий член меньше предыдущего. Привести пример.

Решение

$b_{n+1} - b_n = b_1q^n - b_1q^{n-1} = b_1q^{n-1}(q - 1)$ . При $$q > 0$$ множитель $q^{n-1} > 0$ , поэтому знак разности — это знак $$b_1(q - 1)$$ .

$$b_1 < 0$$ , $$q - 1 > 0$$ , произведение отрицательно: $b_{n+1} < b_n$ .

Пример: $-1;\ -3;\ -9;\ -27;\ \dots$ ( $$q = 3$$ ).

Ответ

Разность b₁qⁿ⁻¹(q − 1) < 0; пример −1; −3; −9; −27; …

Почему так

bₙ₊₁ − bₙ = b₁qⁿ⁻¹(q − 1): знак определяется знаками b₁ и q − 1, так как qⁿ⁻¹ > 0.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 4

Условие (кратко)

г) (bₙ) — геометрическая прогрессия. Доказать: если b₁ < 0 и 0 < q < 1, то каждый следующий член больше предыдущего. Привести пример.

Решение

$b_{n+1} - b_n = b_1q^n - b_1q^{n-1} = b_1q^{n-1}(q - 1)$ . При $$q > 0$$ множитель $q^{n-1} > 0$ , поэтому знак разности — это знак $$b_1(q - 1)$$ .

$$b_1 < 0$$ , $$q - 1 < 0$$ , произведение положительно: $b_{n+1} > b_n$ .

Пример: $-27;\ -9;\ -3;\ -1;\ \dots$ ( $q = \dfrac13$ ).

Ответ

Разность b₁qⁿ⁻¹(q − 1) > 0; пример −27; −9; −3; −1; …

Почему так

bₙ₊₁ − bₙ = b₁qⁿ⁻¹(q − 1): знак определяется знаками b₁ и q − 1, так как qⁿ⁻¹ > 0.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-674/