Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 675

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то a₂ · a₆ = a₃ · a₅.

Решение

a_2 a_6 = a_1q \cdot a_1q^5 = a_1^2q^6,\qquad a_3a_5 = a_1q^2 \cdot a_1q^4 = a_1^2q^6.

Произведения равны.

Ответ

Оба произведения равны a₁²q⁶

Почему так

Произведение двух членов зависит только от суммы их номеров: 2 + 6 = 3 + 5.

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что если (aₙ) — геометрическая прогрессия, то aₙ₋₃ · aₙ₊₈ = aₙ · aₙ₊₅, где n > 3.

Решение

a_{n-3}a_{n+8} = a_1q^{n-4} \cdot a_1q^{n+7} = a_1^2q^{2n+3},\qquad a_na_{n+5} = a_1q^{n-1} \cdot a_1q^{n+4} = a_1^2q^{2n+3}.

Произведения равны.

Ответ

Оба произведения равны a₁²q²ⁿ⁺³

Почему так

Суммы номеров совпадают: (n − 3) + (n + 8) = n + (n + 5).

Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-5/upr-675/