Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если bₙ и bₘ — члены геометрической прогрессии со знаменателем q, то bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ.
Решение
\(b_n = b_1q^{n-1}\), \(b_m = b_1q^{m-1}\), причём \(b_m \ne 0\). Делим:
\[\dfrac{b_n}{b_m} = q^{(n-1)-(m-1)} = q^{n-m}, \quad\text{то есть}\quad b_n = b_mq^{n-m}.\]
Ответ
bₙ/bₘ = qⁿ⁻ᵐ, откуда bₙ = bₘqⁿ⁻ᵐ
Почему так
Оба члена выражаем через b₁ и q и делим одно на другое.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».