Задача 1
Условие (кратко)
а) (Работа в парах.) На стороне OA угла AOB от вершины отложены равные отрезки, через их концы проведены параллельные прямые (рис. 68). A₁B₁ = 1,5 см. Найти A₅B₅.
Решение
Дано
- \(OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots\)
- \(A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel \dots\)
- \(A_1B_1 = 1{,}5\) см
Найти
- \(A_5B_5\)
Нужное свойство из геометрии — подобие треугольников: прямая, параллельная стороне угла, отсекает треугольник, подобный исходному. Треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\) подобны, а \(OA_n = n \cdot OA_1\), поэтому коэффициент подобия равен \(n\) и
\[A_nB_n = n \cdot A_1B_1 = 1{,}5n.\]
Длины \(A_1B_1, A_2B_2, \dots\) образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1,5 и разностью 1,5.
\(A_5B_5 = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5\) см.
Ответ
7,5 см
Почему так
Подобные треугольники дают AₙBₙ = n·A₁B₁ — арифметическую прогрессию с d = A₁B₁.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».