Задача 1
Условие (кратко)
(Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии с первым членом 12 и разностью, не равной 1?
Решение
Пусть \(a_n = 20\), \(a_m = 35\), \(a_1 = 12\). Тогда
\[12 + (n - 1)d = 20,\quad 12 + (m - 1)d = 35,\]
то есть \((n - 1)d = 8\) и \((m - 1)d = 23\). Разделив первое равенство на второе, получаем
\[\frac{n - 1}{m - 1} = \frac{8}{23}.\]
Дробь \(\dfrac{8}{23}\) несократима, поэтому \(n - 1 = 8k\), \(m - 1 = 23k\) для некоторого натурального \(k\), то есть \(n = 8k + 1\), \(m = 23k + 1\), а \(d = \dfrac{8}{n - 1} = \dfrac{1}{k}\).
При \(k = 1\) получаем \(d = 1\) — это запрещено условием, поэтому \(k = 1\) даёт противоречие.
Возьмём \(k = 2\): \(d = 0{,}5\), \(n = 17\), \(m = 47\). Проверка: \(a_{17} = 12 + 16 \cdot 0{,}5 = 20\), \(a_{47} = 12 + 46 \cdot 0{,}5 = 35\). Подходит и любое \(k \ge 2\) (например, \(k = 3\): \(d = \dfrac{1}{3}\), \(n = 25\), \(m = 70\)).
Ответ
Могут: например, d = 0,5, тогда a₁₇ = 20, a₄₇ = 35 (подходит d = 1/k при любом натуральном k ≥ 2)
Почему так
Из формулы n-го члена (n − 1)/(m − 1) = 8/23, откуда d = 1/k; k = 1 даёт запрещённое d = 1.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».