Задача 1
Доказать: если a, b, c — последовательные члены арифметической прогрессии, то a² + ab + b², a² + ac + c², b² + bc + c² — тоже последовательные члены арифметической прогрессии (повышенной трудности).
Решение
Три числа \(x, y, z\) — последовательные члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда \(y - x = z - y\), то есть \(2y = x + z\).
По условию \(2b = a + c\), значит, \(4b^2 = (a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2\).
Найдём сумму крайних чисел:
Итак, удвоенное среднее число равно сумме крайних — это и значит, что три числа образуют арифметическую прогрессию. Что и требовалось доказать.
Проверка на примере: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\) дают \(7,\ 13,\ 19\) — разность 6.
Ответ
Характеристическое свойство: x, y, z идут подряд в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда 2y = x + z.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».