Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 27, упражнение 562

Задача 1

Условие (кратко)

Числа a², b², c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Доказать, что 1/(b + c), 1/(a + c), 1/(a + b) — тоже (повышенной трудности).

Решение

По условию $$2b^2 = a^2 + c^2$$ (знаменатели $$b + c$$ , $$a + c$$ , $$a + b$$ считаем ненулевыми). Нужно доказать, что

\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} = \frac{2}{a + c}.

Левая часть равна

\dfrac{a + 2b + c}{(b + c)(a + b)}

. Равенство дробей равносильно равенству

\[(a + 2b + c)(a + c) = 2(a + b)(b + c).\]

Раскроем скобки. Слева:

\(a^2 + ac + 2ab + 2bc + ac + c^2 = a^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)

. Справа:

\(2(ab + ac + b^2 + bc) = 2b^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)

Части отличаются только слагаемыми $$a^2 + c^2$$ и $$2b^2$$ , а они равны по условию. Значит, равенство верно, и числа $\dfrac{1}{b + c},\ \dfrac{1}{a + c},\ \dfrac{1}{a + b}$ — последовательные члены арифметической прогрессии.

Пример: $$a = 1$$ , $$b = 5$$ , $$c = 7$$ ( $1,\ 25,\ 49$ — прогрессия с $$d = 24$$ ) дают $\dfrac{1}{12},\ \dfrac{1}{8},\ \dfrac{1}{6}$ — разность $\dfrac{1}{24}$ .

Ответ

Доказано: 1/(b + c) + 1/(a + b) = 2/(a + c) равносильно a² + c² = 2b²

Почему так

Характеристическое свойство 2y = x + z сводит задачу к тождеству, которое верно при a² + c² = 2b².

Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Упражнение 562 к § 27

Задача 1

Похожие задачи для тренировки