Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что суммы внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. образуют арифметическую прогрессию. Найти её разность.
Решение
Сумма углов выпуклого \(k\)-угольника равна \(180^\circ(k - 2)\) (диагонали из одной вершины делят его на \(k - 2\) треугольника).
Треугольник — первый член (\(k = 3\)), четырёхугольник — второй (\(k = 4\)) и т. д., то есть \(k = n + 2\), и
\[a_n = 180^\circ \cdot n.\]
\(a_{n+1} - a_n = 180^\circ(n + 1) - 180^\circ n = 180^\circ\) — постоянно. Значит, последовательность \(180^\circ,\ 360^\circ,\ 540^\circ, \dots\) — арифметическая прогрессия.
Ответ
Доказано; разность равна 180°
Почему так
Каждая новая вершина добавляет один треугольник, то есть 180° к сумме углов.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».