Задача 1
В треугольнике ABC провели среднюю линию A₁C₁, в треугольнике A₁BC₁ — среднюю линию A₂C₂ и т. д. Найдите площадь треугольника A₉BC₉, если площадь ABC равна 768 см².
Решение
- \(S_{ABC} = 768\) см²
- \(A_1C_1\)
- \(A_2C_2\)
- … — средние линии
- \(S_{A_9BC_9}\)
Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник с коэффициентом подобия \(\dfrac{1}{2}\), поэтому его площадь в \(2^2 = 4\) раза меньше.
Площади треугольников \(A_1BC_1\), \(A_2BC_2\), … образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(S_1 = \dfrac{768}{4} = 192\) см² и знаменателем \(q = \dfrac{1}{4}\).
\(S_9 = S_1 q^8 = 192 \cdot \dfrac{1}{4^8} = \dfrac{192}{65\,536} = \dfrac{3}{1024}\) см².
Проверка другим путём: \(S_9 = \dfrac{768}{4^9} = \dfrac{768}{262\,144} = \dfrac{3}{1024}\) см².
Ответ
Каждая средняя линия уменьшает площадь в 4 раза, поэтому площади образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/4.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».