Задача 1
Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник, из высот второго — третий и т. д. Докажите, что периметры образуют геометрическую прогрессию, найдите периметр шестого (повышенной трудности).
Решение
- сторона первого равностороннего треугольника \(a_1 = 8\) см
- \(P_6\)
Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Все три высоты равны, поэтому треугольник из них тоже равносторонний, со стороной \(a_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a_n\).
Периметр \(P_n = 3a_n\), значит \(P_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} P_n\): каждый периметр получается из предыдущего умножением на одно и то же число \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Это и означает, что периметры образуют геометрическую прогрессию с \(P_1 = 24\) см и \(q = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Здесь \((\sqrt{3})^5 = 9\sqrt{3}\), \(2^5 = 32\).
Ответ
Сторона следующего треугольника — высота предыдущего, то есть она в √3/2 раза больше; периметры умножаются на то же число.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».