Задача 1
Условие (кратко)
В равносторонний треугольник со стороной 16 см вписан треугольник с вершинами в серединах сторон, в него — третий и т. д. Докажите, что периметры образуют геометрическую прогрессию, найдите периметр восьмого.
Решение
Дано
- \(a_1 = 16\) см
Найти
- \(P_8\)
Стороны вписанного треугольника — средние линии предыдущего, каждая равна половине стороны. Поэтому \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2} a_n\) и \(P_{n+1} = \dfrac{1}{2} P_n\) — периметры образуют геометрическую прогрессию с \(P_1 = 3 \cdot 16 = 48\) см и \(q = \dfrac{1}{2}\).
\[P_8 = P_1 q^7 = 48 \cdot \dfrac{1}{128} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \text{ см}.\]
Ответ
0,375 см
Почему так
Средняя линия треугольника равна половине стороны, поэтому каждый следующий периметр вдвое меньше предыдущего.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».