Задача 1
Условие (кратко)
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если второе уменьшить на 1, а третье увеличить на 1, получится геометрическая прогрессия. Найдите числа (повышенной трудности).
Решение
Дано
- \(a - d\)
- \(a\)
- \(a + d\) — арифметическая прогрессия
- сумма 21
Найти
- числа
Сумма \((a - d) + a + (a + d) = 3a = 21\), \(a = 7\). Числа: \(7 - d\), \(7\), \(7 + d\).
После изменений получаем \(7 - d\), \(6\), \(8 + d\) — геометрическую прогрессию. По её свойству квадрат среднего члена равен произведению крайних:
\[6^2 = (7 - d)(8 + d),\quad 36 = 56 - d - d^2,\quad d^2 + d - 20 = 0.\]
\(d_1 = 4\), \(d_2 = -5\).
- При \(d = 4\) получаем числа \(3\), \(7\), \(11\); после изменений \(3\), \(6\), \(12\) — прогрессия с \(q = 2\).
- При \(d = -5\) получаем числа \(12\), \(7\), \(2\); после изменений \(12\), \(6\), \(3\) — прогрессия с \(q = \dfrac{1}{2}\).
Ответ
3, 7, 11 или 12, 7, 2
Почему так
Квадрат среднего члена геометрической прогрессии равен произведению соседних, bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».