Задача 1
Условие (кратко)
Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если первое и второе увеличить на 1, а третье на 4, получится геометрическая прогрессия. Найдите числа (повышенной трудности).
Решение
Дано
- \(a - d\)
- \(a\)
- \(a + d\) — положительные числа
- сумма 15
Найти
- числа
\(3a = 15\), \(a = 5\). Числа: \(5 - d\), \(5\), \(5 + d\).
После изменений: \(6 - d\), \(6\), \(9 + d\) — геометрическая прогрессия, поэтому
\[6^2 = (6 - d)(9 + d),\quad 36 = 54 - 3d - d^2,\quad d^2 + 3d - 18 = 0.\]
\(d_1 = 3\), \(d_2 = -6\).
- При \(d = 3\) получаем числа \(2\), \(5\), \(8\) — положительные; после изменений \(3\), \(6\), \(12\) — прогрессия с \(q = 2\).
- При \(d = -6\) получаем числа \(11\), \(5\), \(-1\) — есть отрицательное, не подходит по условию.
Ответ
2, 5, 8
Почему так
Квадрат среднего члена геометрической прогрессии равен произведению соседних; условие положительности отсекает второй корень.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».