Задача 1
(Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?
Решение
-
Чертёж: прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(aq\) и гипотенузой \(aq^2\), где \(a > 0\). Гипотенуза — наибольшая сторона, поэтому \(q > 1\) (при \(q = 1\) треугольник был бы равносторонним, а не прямоугольным).
-
Используем теорему Пифагора: \(a^2 + (aq)^2 = (aq^2)^2\).
-
Разделим на \(a^2 > 0\) и получим \(1 + q^2 = q^4\), то есть \(q^4 - q^2 - 1 = 0\). Пусть \(t = q^2 > 0\), тогда \(t^2 - t - 1 = 0\), \(t = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (второй корень \(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\) не подходит).
- Вывод: могут. Например, при \(a = 1\) стороны \(1\); \(q \approx 1{,}272\); \(q^2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\). Проверка: \(1^2 + q^2 = 1 + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\) и \((q^2)^2 = \dfrac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\) — равны.
Ответ
По теореме Пифагора a² + a²q² = a²q⁴, это биквадратное уравнение q⁴ − q² − 1 = 0 имеет корень q > 1.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».