Проверить при n = 1, 2, 3 и доказать для любого натурального n формулу 1³ + 2³ + \ldots + n³ = n²(n+1)²/4 (повышенной трудности)

Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 629 к § 31

§ 31. Метод математической индукции · тема: Метод математической индукции

Задача 1

Условие (кратко)

Проверить при n = 1, 2, 3 и доказать для любого натурального n формулу $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ (повышенной трудности)

Решение

Проверка. $$n = 1$$ : слева $$1$$ , справа $\dfrac{1 \cdot 4}{4} = 1$ . $$n = 2$$ : слева $$1 + 8 = 9$$ , справа $\dfrac{4 \cdot 9}{4} = 9$ . $$n = 3$$ : слева $$1 + 8 + 27 = 36$$ , справа $\dfrac{9 \cdot 16}{4} = 36$ . Формула верна.

База. При $$n = 1$$ формула верна (проверено выше).

Шаг. Пусть формула верна при $$n = k$$ имеем $1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}$ . Докажем, что $1^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$ .

1^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^2\left(k^2 + 4(k+1)\right)}{4} = \dfrac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} = \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.

Вывод. По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном $$n$$ .

Ответ

При n = 1, 2, 3 обе части равны 1, 9, 36; формула доказана для любого натурального n

Почему так

Метод математической индукции — база при n = 1 и переход от n = k к n = k + 1 с вынесением общего множителя (k + 1)².

Подробнее — в теме «Метод математической индукции».

Задача 1

Похожие задачи для тренировки