Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом натуральном n верно \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n(n+1) = \dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)\) (повышенной трудности)
Решение
База. При \(n = 1\): слева \(1 \cdot 2 = 2\), справа \(\dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2\). Верно.
Шаг. Пусть \(1 \cdot 2 + \ldots + k(k+1) = \dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)\). Прибавим следующее слагаемое \((k+1)(k+2)\):
\[\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\dfrac{k}{3} + 1\right) = \dfrac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3).\]
Это и есть формула при \(n = k + 1\).
Вывод. По принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ
Доказано методом математической индукции
Почему так
В шаге индукции к сумме прибавляют (k + 1)(k + 2) и выносят этот общий множитель за скобки.
Подробнее — в теме «Метод математической индукции».