Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом натуральном n сумма \(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)}\) равна \(S_n = \dfrac{n}{n+1}\) (повышенной трудности)
Решение
База. При \(n = 1\) имеем \(S_1 = \dfrac{1}{1 \cdot 2} = \dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}\). Верно.
Шаг. Пусть \(S_k = \dfrac{k}{k+1}\). Тогда
\[S_{k+1} = S_k + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k+1}{k+2}.\]
Это формула при \(n = k + 1\).
Вывод. По принципу математической индукции \(S_n = \dfrac{n}{n+1}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ
Доказано методом математической индукции
Почему так
В шаге индукции дроби приводят к общему знаменателю, а числитель k² + 2k + 1 сворачивают в (k + 1)².
Подробнее — в теме «Метод математической индукции».