Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом натуральном n верно \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n+1) = n(n+1)^2\) (повышенной трудности)
Решение
База. При \(n = 1\): слева \(1 \cdot 4 = 4\), справа \(1 \cdot 2^2 = 4\). Верно.
Шаг. Пусть \(1 \cdot 4 + \ldots + k(3k+1) = k(k+1)^2\). Следующее слагаемое при \(n = k + 1\) равно \((k+1)(3k+4)\). Тогда
\[k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4) = (k+1)\left(k^2 + k + 3k + 4\right) = (k+1)(k^2 + 4k + 4) = (k+1)(k+2)^2.\]
Это правая часть при \(n = k + 1\).
Вывод. По принципу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ
Доказано методом математической индукции
Почему так
Слагаемое с номером k + 1 равно (k + 1)(3k + 4); после вынесения (k + 1) в скобке получается полный квадрат (k + 2)².
Подробнее — в теме «Метод математической индукции».