Задача 1
Условие (кратко)
Последовательность: \(b_1 = -3\), \(b_{k+1} = b_k + 6k + 3\). Доказать, что её можно задать формулой \(b_n = 3n^2 - 6\) (повышенной трудности)
Решение
База. При \(n = 1\) имеем \(3 \cdot 1^2 - 6 = -3 = b_1\). Верно.
Шаг. Пусть \(b_k = 3k^2 - 6\). По условию
\[b_{k+1} = b_k + 6k + 3 = 3k^2 - 6 + 6k + 3 = 3k^2 + 6k + 3 - 6 = 3(k+1)^2 - 6.\]
Значит, формула верна и при \(n = k + 1\).
Вывод. По принципу математической индукции \(b_n = 3n^2 - 6\) при любом натуральном \(n\). Проверка для \(n = 2\) имеем \(b_2 = -3 + 9 = 6\) и \(3 \cdot 4 - 6 = 6\).
Ответ
Доказано методом математической индукции
Почему так
Подставляем предположение b_k = 3k² − 6 в рекуррентную формулу и выделяем полный квадрат 3(k + 1)².
Подробнее — в теме «Метод математической индукции».