Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что последовательность с \(a_1 = -5\), \(a_{k+1} = a_k + 10k + 5\) можно задать формулой \(a_n = 5n^2 - 10\) (повышенной трудности)
Решение
База. При \(n = 1\) имеем \(5 \cdot 1^2 - 10 = -5 = a_1\). Верно.
Шаг. Пусть \(a_k = 5k^2 - 10\). По условию
\[a_{k+1} = a_k + 10k + 5 = 5k^2 - 10 + 10k + 5 = 5(k^2 + 2k + 1) - 10 = 5(k+1)^2 - 10.\]
Значит, формула верна и при \(n = k + 1\).
Вывод. По принципу математической индукции \(a_n = 5n^2 - 10\) при любом натуральном \(n\). Проверка для \(n = 2\) имеем \(a_2 = -5 + 15 = 10\) и \(5 \cdot 4 - 10 = 10\).
Ответ
Доказано методом математической индукции
Почему так
Подставляем предположение a_k = 5k² − 10 в рекуррентную формулу и выделяем 5(k + 1)².
Подробнее — в теме «Метод математической индукции».