Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что разность \(49^n - 1\) кратна 48 при любом натуральном n (повышенной трудности)
Решение
База. При \(n = 1\) имеем \(49 - 1 = 48\) — кратно 48.
Шаг. Пусть \(49^k - 1\) кратно 48. Тогда
\[49^{k+1} - 1 = 49 \cdot 49^k - 1 = (48 + 1) \cdot 49^k - 1 = 48 \cdot 49^k + (49^k - 1).\]
Первое слагаемое кратно 48 (есть множитель 48), второе кратно 48 по предположению. Значит, и сумма кратна 48.
Вывод. По принципу математической индукции \(49^n - 1\) кратно 48 при любом натуральном \(n\).
Ответ
Доказано методом математической индукции
Почему так
В шаге 49 записывают как 48 + 1, чтобы выделить слагаемое из предположения индукции.
Подробнее — в теме «Метод математической индукции».