Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 31

Упражнение 636 к § 31

§ 31. Метод математической индукции · тема: Метод математической индукции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Числа Фибоначчи $$u_1 = u_2 = 1$$ , $u_{n+2} = u_n + u_{n+1}$ . Доказать, что $u_1 + u_3 + u_5 + \ldots + u_{2n-1} = u_{2n}$ (повышенной трудности)

Решение

Рекуррентное правило $u_{n+2} = u_n + u_{n+1}$ действует при любом натуральном $$n$$ (в учебнике напечатано «при $$n > 2$$ » — по смыслу это опечатка, иначе $$u_3$$ и $$u_4$$ не определены).

База. При $$n = 1$$ : слева $$u_1 = 1$$ , справа $$u_2 = 1$$ . Верно.

Шаг. Пусть $u_1 + u_3 + \ldots + u_{2k-1} = u_{2k}$ . Прибавим следующее слагаемое $u_{2k+1}$ :

u_1 + u_3 + \ldots + u_{2k-1} + u_{2k+1} = u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2} = u_{2(k+1)}.

Это и есть равенство при $$n = k + 1$$ .

Вывод. По принципу математической индукции свойство верно при любом натуральном $$n$$ . Проверка при $$n = 3$$ имеем $$1 + 2 + 5 = 8 = u_6$$ .

Ответ

Доказано методом математической индукции

Почему так

В шаге индукции используется само определение чисел Фибоначчи — сумма двух соседних чисел даёт следующее.

Подробнее — в теме «Метод математической индукции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Числа Фибоначчи $$u_1 = u_2 = 1$$ , $u_{n+2} = u_n + u_{n+1}$ . Доказать, что $u_1^2 + u_2^2 + \ldots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ (повышенной трудности)

Решение

База. При $$n = 1$$ : слева $$u_1^2 = 1$$ , справа $u_1 u_2 = 1 \cdot 1 = 1$ . Верно.

Шаг. Пусть $u_1^2 + \ldots + u_k^2 = u_k u_{k+1}$ . Прибавим $u_{k+1}^2$ :

u_1^2 + \ldots + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_k u_{k+1} + u_{k+1}^2 = u_{k+1}(u_k + u_{k+1}) = u_{k+1} u_{k+2}.

Это равенство при $$n = k + 1$$ .

Вывод. По принципу математической индукции свойство верно при любом натуральном $$n$$ . Проверка при $$n = 4$$ имеем $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = 3 \cdot 5 = u_4 u_5$ .