Задача 1
Условие (кратко)
Найдите значение m, при котором корни уравнения x³ − 9x² + mx − 15 = 0 образуют арифметическую прогрессию. (повышенной трудности)
Решение
Идея: если корни \(a - d\), \(a\), \(a + d\), то их сумма равна \(3a\), а сумму корней кубического уравнения даёт разложение на множители.
Пусть корни \(a - d\), \(a\), \(a + d\). Тогда
\[x^3 - 9x^2 + mx - 15 = (x - a + d)(x - a)(x - a - d).\]
Коэффициент при \(x^2\) справа равен \(-\bigl((a-d) + a + (a+d)\bigr) = -3a\). Значит, \(-3a = -9\), \(a = 3\).
Число 3 — корень уравнения: \(27 - 81 + 3m - 15 = 0\), \(3m = 69\), \(m = 23\).
Проверка: \(x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = (x - 1)(x - 3)(x - 5)\) (раскройте скобки). Корни \(1,\ 3,\ 5\) — арифметическая прогрессия с разностью 2.
Ответ
m = 23
Почему так
Средний корень прогрессии равен трети суммы корней, а она определяется коэффициентом при x².
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».