Задача 1
Условие (кратко)
y = f(x) — линейная функция, x₁, x₂, x₃, … — арифметическая прогрессия. Докажите, что f(x₁), f(x₂), … — арифметическая прогрессия. (повышенной трудности)
Решение
Идея: у линейной функции приращение значения пропорционально приращению аргумента.
Пусть \(f(x) = kx + b\), а разность прогрессии \((x_n)\) равна \(d\), то есть \(x_{n+1} - x_n = d\) при любом \(n\).
Найдём разность соседних членов новой последовательности:
\[f(x_{n+1}) - f(x_n) = (kx_{n+1} + b) - (kx_n + b) = k(x_{n+1} - x_n) = kd.\]
Она одна и та же для всех \(n\). Значит, \(f(x_1), f(x_2), \dots\) — арифметическая прогрессия с разностью \(kd\), что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: f(xₙ₊₁) − f(xₙ) = k(xₙ₊₁ − xₙ) = kd — постоянная разность
Почему так
Последовательность — арифметическая прогрессия, если разность соседних членов постоянна.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».