Задача 1
Условие (кратко)
В арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄ из целых чисел наибольший член равен сумме квадратов остальных. Найдите члены прогрессии. (повышенной трудности)
Решение
Дано
- \(a_1, a_2, a_3, a_4\) — целые
- разность \(d\) — целая; наибольший член равен сумме квадратов трёх остальных
Найти
- члены прогрессии
Идея: записать условие как квадратное уравнение относительно \(a_1\) и потребовать неотрицательного дискриминанта — это сильно ограничит \(d\).
- Пусть \(d \ge 0\); тогда наибольший член \(a_4 = a + 3d\) (здесь \(a = a_1\)):
\[a + 3d = a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 \;\Leftrightarrow\; 3a^2 + (6d - 1)a + 5d^2 - 3d = 0.\]
- Целый корень \(a\) возможен, только если дискриминант неотрицателен:
\[D = (6d - 1)^2 - 12(5d^2 - 3d) = -24d^2 + 24d + 1 \ge 0.\]Корни трёхчлена \(-24d^2 + 24d + 1\) примерно \(-0{,}04\) и \(1{,}04\), поэтому целое \(d \ge 0\) — только \(0\) или \(1\).
- При \(d = 0\) уравнение \(3a^2 - a = 0\) имеет целый корень \(a = 0\) — все члены нули (постоянная прогрессия, вырожденный случай).
- При \(d = 1\) получаем \(3a^2 + 5a + 2 = 0\), \(a = -1\) или \(a = -\dfrac23\). Целый — \(a = -1\): прогрессия \(-1,\ 0,\ 1,\ 2\). Проверка: \((-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 2\) — верно.
- Если \(d < 0\), наибольший член — \(a_1\), и всё повторяется для прогрессии, записанной в обратном порядке: \(2,\ 1,\ 0,\ -1\).
Ответ
−1, 0, 1, 2 или 2, 1, 0, −1 (если допускать постоянную прогрессию — ещё 0, 0, 0, 0)
Почему так
Условие — квадратное уравнение относительно первого члена; требование D ≥ 0 оставляет лишь разности 0 и ±1.
Подробнее — в теме «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена».