Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию. (повышенной трудности)
Решение
Идея: высота обратно пропорциональна стороне, к которой проведена: \(h = \dfrac{2S}{a}\).
Пусть стороны \(a\), \(aq\), \(aq^2\) (\(a > 0\), \(q > 0\)), \(S\) — площадь треугольника. Из \(S = \dfrac12 \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}\) высоты к этим сторонам:
\[h_1 = \dfrac{2S}{a}, \quad h_2 = \dfrac{2S}{aq} = h_1 \cdot \dfrac1q, \quad h_3 = \dfrac{2S}{aq^2} = h_2 \cdot \dfrac1q.\]
Каждая следующая высота получается из предыдущей умножением на одно и то же число \(\dfrac1q\). Значит, \(h_1, h_2, h_3\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(\dfrac1q\), что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: высоты 2S/a, 2S/(aq), 2S/(aq²) — геометрическая прогрессия со знаменателем 1/q
Почему так
Высота равна удвоенной площади, делённой на сторону, поэтому высоты обратно пропорциональны сторонам.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».