Задача 1
Условие (кратко)
Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна −3. Найдите эти числа. (повышенной трудности)
Решение
Дано
- \(b\)
- \(bq\)
- \(bq^2\) — различные целые числа
- \(b(1 + q + q^2) = -3\)
Найти
- числа
Идея: знаменатель \(q\) рационален; запишем его несократимой дробью и выясним, на что должно делиться \(b\).
- \(q = \dfrac{bq}{b}\) — рациональное число, \(q \ne 0\), \(q \ne 1\) (иначе числа не различны). Пусть \(q = \dfrac{p}{r}\) — несократимая дробь, \(r \ge 1\).
- \(bq^2 = \dfrac{bp^2}{r^2}\) — целое, а \(p^2\) и \(r^2\) взаимно просты, значит, \(b = kr^2\), \(k\) — целое.
- Условие о сумме: \(kr^2\left(1 + \dfrac pr + \dfrac{p^2}{r^2}\right) = k(r^2 + pr + p^2) = -3\).
- \(r^2 + pr + p^2 = \left(r + \dfrac p2\right)^2 + \dfrac{3p^2}{4} > 0\) и делит 3, поэтому равно 1 или 3.
- \(r^2 + pr + p^2 = 1\): \(q = 0\) или \(q = -1\). При \(q = -1\) получаем \(-3,\ 3,\ -3\) — числа не различны.
- \(r^2 + pr + p^2 = 3\), \(k = -1\): \(q = 1\) (не подходит), \(q = -2\) или \(q = -\dfrac12\) (при \(r \ge 3\) выражение больше 3).
- При \(q = -2\), \(b = -1\) получаем числа \(-1,\ 2,\ -4\), при \(q = -\dfrac12\), \(b = -4\) — числа \(-4,\ 2,\ -1\). Сумма в обоих случаях \(-3\).
В ответах учебника указаны ещё тройки \(-1, -1, -1\) и \(-3, 3, -3\); они удовлетворяют условию о сумме, но числа в них не различны, поэтому по условию задачи не подходят.
Ответ
−1, 2, −4 или −4, 2, −1 (в ответах учебника также −1, −1, −1 и −3, 3, −3, но в них числа не различны)
Почему так
Знаменатель прогрессии — несократимая дробь p/r, тогда r² + pr + p² должно делить 3.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».