Задача 1
Условие (кратко)
Три целых числа составляют арифметическую прогрессию с первым членом 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. (повышенной трудности)
Решение
Дано
- \(1\)
- \(1 + d\)
- \(1 + 2d\) — целые; \(1\)
- \(4 + d\)
- \((1 + 2d)^2\) — геометрическая прогрессия
Найти
- числа
Идея: характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению соседних.
- \((4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2\), откуда \(4 + d = 1 + 2d\) или \(4 + d = -(1 + 2d)\).
- Первый случай: \(d = 3\). Второй: \(3d = -5\), \(d = -\dfrac53\) — числа не целые.
- \(d = 3\): числа \(1,\ 4,\ 7\). Проверка: \(1,\ 7,\ 49\) — геометрическая прогрессия со знаменателем 7.
Ответ
1, 4, 7
Почему так
Для геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних.
Подробнее — в теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена».