Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 403

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой a, параллельны.

Решение

Дано: $m \parallel n$ , $$m_1$$ и $$n_1$$ симметричны прямым $$m$$ и $$n$$ относительно прямой $$a$$ . Доказать: $m_1 \parallel n_1$ .

Фигура, симметричная прямой, — прямая. Различным точкам соответствуют различные симметричные точки, поэтому $$m_1$$ и $$n_1$$ — различные прямые.
Пусть $$m_1$$ и $$n_1$$ пересекаются в точке $$P$$ . Точка $$P'$$ , симметричная $$P$$ , лежит и на $$m$$ (так как $P \in m_1$ ), и на $$n$$ (так как $P \in n_1$ ).
Тогда прямые $$m$$ и $$n$$ имеют общую точку $$P'$$ , что противоречит условию $m \parallel n$ . Значит, $m_1 \parallel n_1$ .

Ответ

Утверждение доказано, общая точка прямых m₁ и n₁ дала бы общую точку прямых m и n

Почему так

Симметрия относительно прямой переводит различные точки в различные, поэтому общая точка образов означала бы общую точку исходных прямых.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).