Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 404

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой a, перпендикулярны.

Решение

Дано: $m \perp n$ , $$P$$ — точка их пересечения, $$m_1$$ и $$n_1$$ симметричны $$m$$ и $$n$$ относительно прямой $$a$$ . Доказать: $m_1 \perp n_1$ .

Возьмём на $$m$$ точку $$A$$ , на $$n$$ точку $$B$$ , отличные от $$P$$ . Симметричные им точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$P_1$$ лежат: $$A_1$$ и $$P_1$$ — на $$m_1$$ , $$B_1$$ и $$P_1$$ — на $$n_1$$ .
При симметрии относительно прямой отрезок переходит в равный отрезок: $$A_1P_1 = AP$$ , $$B_1P_1 = BP$$ , $$A_1B_1 = AB$$ .
$\triangle A_1P_1B_1 = \triangle APB$ по трём сторонам, поэтому $\angle A_1P_1B_1 = \angle APB = 90^\circ$ .

Значит, $m_1 \perp n_1$ .

Ответ

Утверждение доказано, угол между образами равен ∠APB = 90°

Почему так

Осевая симметрия сохраняет длины отрезков, поэтому треугольник переходит в равный, и прямой угол остаётся прямым.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).