Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 405

Условие (кратко)

Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , $$BH$$ — высота к основанию $$AC$$ , $$l$$ — прямая $$BH$$ . Доказать: $$l$$ — ось симметрии треугольника.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой: $$AH = HC$$ . Поэтому $$l$$ — серединный перпендикуляр к $$AC$$ , и точка $$C$$ симметрична точке $$A$$ относительно $$l$$ .
Точка $$B$$ лежит на $$l$$ , поэтому симметрична сама себе.
Возьмём любую точку $$X$$ стороны $$AB$$ и симметричную ей точку $$X_1$$ . Расстояние между точками равно расстоянию между симметричными им точками (свойство 2 п. 45), а $A \to C$ , $B \to B$ , поэтому $$BX_1 = BX$$ , $$CX_1 = AX$$ . Тогда $$BX_1 + X_1C = BX + XA = AB = CB$$ . Если бы $$X_1$$ не лежала на отрезке $$BC$$ , по неравенству треугольника было бы $$BX_1 + X_1C > BC$$ . Значит, $$X_1$$ лежит на стороне $$CB$$ . Так же точки стороны $$CB$$ переходят в точки стороны $$AB$$ , а точки стороны $$AC$$ — в точки той же стороны ( $$AX_1 = CX$$ , $$CX_1 = AX$$ , сумма равна $$AC$$ ).

Треугольник переходит в себя, то есть $$l$$ — его ось симметрии.

Ответ

Утверждение доказано, прямая BH — серединный перпендикуляр к основанию, она меняет местами A и C и оставляет B на месте

Почему так

Высота равнобедренного треугольника к основанию является медианой, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к основанию.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Задание 405