Задача 1
Условие (кратко)
Точка A внутри угла CDE. A₁ симметрична A относительно прямой DE, A₂ — относительно прямой DC. Найдите угол CDE, если ∠A₁DE = 24°, ∠A₂DC = 48°.
Решение
Дано
- \(A\) внутри \(\angle CDE\)
- \(A_1\) и \(A_2\) симметричны \(A\) относительно прямых \(DE\) и \(DC\)
- \(\angle A_1DE = 24^\circ\)
- \(\angle A_2DC = 48^\circ\)
Найти
- \(\angle CDE\)
-
Точки \(D\) и \(E\) лежат на оси \(DE\) и симметричны сами себе, поэтому \(DA_1 = DA\), \(EA_1 = EA\). Тогда \(\triangle A_1DE = \triangle ADE\) по трём сторонам и \(\angle ADE = \angle A_1DE = 24^\circ\).
-
Так же \(\triangle A_2DC = \triangle ADC\), и \(\angle ADC = \angle A_2DC = 48^\circ\).
-
Луч \(DA\) проходит внутри угла \(CDE\), поэтому \(\angle CDE = \angle ADE + \angle ADC = 24^\circ + 48^\circ = 72^\circ\).
Ответ
∠CDE = 72°
Почему так
Симметрия относительно прямой, проходящей через вершину угла, сохраняет угол между лучом и осью.
Подробнее — в теме «Осевая симметрия».