Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 407

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ , прямая $$l$$ проходит через $$O$$ . Доказать: $$l$$ — ось симметрии окружности.

Возьмём любую точку $$M$$ окружности и симметричную ей точку $$M_1$$ относительно $$l$$ .

Если $M \in l$ , то $$M_1 = M$$ и лежит на окружности.
Если $M \notin l$ , то $$l$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$MM_1$$ . Точка $$O$$ лежит на $$l$$ , поэтому равноудалена от концов отрезка: $$OM_1 = OM = r$$ . Значит, $$M_1$$ лежит на окружности.

Каждая точка окружности переходит в точку той же окружности, поэтому $$l$$ — ось симметрии.

Ответ

Утверждение доказано, образ любой точки окружности удалён от центра на радиус

Почему так

Центр лежит на оси, а каждая точка оси равноудалена от точки и её симметричной.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).