Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 408

Условие (кратко)

Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , хорды $$AB = CD$$ пересекаются в точке $$P$$ , $$l$$ — прямая $$OP$$ , содержащая диаметр. Доказать: $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно $$l$$ .

Проведём $OH \perp AB$ , $OK \perp CD$ . Равные хорды равноудалены от центра (задача 341): $$OH = OK$$ .
Прямоугольные треугольники $$OHP$$ и $$OKP$$ равны по гипотенузе $$OP$$ и катету ( $$OH = OK$$ ). Поэтому $\angle OPH = \angle OPK$ и $$PH = PK$$ .
Лучи $$PH$$ и $$PK$$ лежат по разные стороны от $$l$$ (иначе они совпали бы и хорды лежали бы на одной прямой). Они образуют с $$l$$ равные углы, значит, симметричны относительно $$l$$ , и прямая $$AB$$ переходит в прямую $$CD$$ .
Прямая $$l$$ проходит через центр и является осью симметрии окружности (задача 407). Концы хорды $$AB$$ — общие точки прямой $$AB$$ и окружности, они переходят в общие точки прямой $$CD$$ и окружности, то есть в $$C$$ и $$D$$ . Значит, хорда $$AB$$ симметрична хорде $$CD$$ .

Оговорка: если $$P$$ совпадает с центром $$O$$ , то хорды — диаметры, и через $$P$$ проходит любой диаметр. Тогда утверждение верно не для любого диаметра, а только для двух — лежащих на биссектрисах углов между данными диаметрами.

Ответ

Утверждение доказано, прямая OP делит угол между хордами пополам, а окружность при этой симметрии переходит в себя

Почему так

Равные хорды равноудалены от центра, поэтому прямая через центр и точку их пересечения — биссектриса угла между хордами.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Задание 408

Задача 1