Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 409

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ имеет две различные оси симметрии. Доказать: у него есть третья ось симметрии.

Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный, а ось — серединный перпендикуляр к его основанию (задача 393).
Две различные оси — серединные перпендикуляры к двум разным сторонам. Пусть это стороны $$AC$$ и $$AB$$ . Тогда $$BA = BC$$ (вершина $$B$$ на серединном перпендикуляре к $$AC$$ ) и $$CA = CB$$ (вершина $$C$$ на серединном перпендикуляре к $$AB$$ ).
Значит, $$AB = BC = CA$$ , и треугольник равносторонний. В частности, $$AB = AC$$ , то есть он равнобедренный с основанием $$BC$$ .
Прямая, содержащая высоту к основанию $$BC$$ , — ось симметрии (задача 405). Она отличается от первых двух, так как перпендикулярна третьей стороне. Это третья ось.

Ответ

Утверждение доказано, треугольник с двумя осями равносторонний, и серединный перпендикуляр к третьей стороне тоже ось

Почему так

Каждая ось симметрии треугольника — серединный перпендикуляр к основанию, поэтому две оси дают равенство всех трёх сторон.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).