Задание 410

Дано: прямые \(b\) и \(p\). Построить: прямую \(b_1\), симметричную \(b\) относительно \(p\).

Построение:

1. Отмечаем на \(b\) две точки \(X\) и \(Y\), не лежащие на \(p\) (если \(b\) пересекает \(p\), одной из точек удобно взять точку пересечения: она симметрична сама себе).

2. Из точки \(X\) опускаем перпендикуляр на \(p\), основание \(H\). На продолжении \(XH\) за точку \(H\) откладываем циркулем \(HX_1 = HX\). Точка \(X_1\) симметрична \(X\).

3. Так же строим точку \(Y_1\), симметричную \(Y\).

4. Проводим прямую \(X_1Y_1\) — это и есть \(b_1\).

Фигура, симметричная прямой, — прямая, и она проходит через образы двух её точек, поэтому \(b_1 = X_1Y_1\). (Указание учебника советует строить образ точки пересечения прямых; мы строим образы двух любых точек — так построение работает и тогда, когда \(b \parallel p\).)

Дано: прямые \(a\), \(b\), \(p\) и прямая \(b_1\), симметричная \(b\) относительно \(p\). Построить: отрезок \(XY\), \(X \in a\), \(Y \in b\), симметричный относительно \(p\) (концы симметричны друг другу).

Анализ. Если \(Y \in b\), то симметричная ей точка \(X\) лежит на \(b_1\). Значит, \(X\) — общая точка прямых \(a\) и \(b_1\).

Построение:

1. Отмечаем точку \(X\) пересечения прямых \(a\) и \(b_1\).

2. Строим точку \(Y\), симметричную \(X\) относительно \(p\) (перпендикуляр к \(p\) и равный отрезок за осью). Так как \(X \in b_1\), точка \(Y\) лежит на \(b\).

3. Отрезок \(XY\) искомый: \(p\) — серединный перпендикуляр к нему, то есть его ось симметрии.

Если \(a\) и \(b_1\) пересекаются в точке вне \(p\) — решение одно; если их общая точка лежит на \(p\), то \(Y = X\) и отрезка не получается — решений нет; если \(a \parallel b_1\) — решений нет; если \(a\) совпадает с \(b_1\) — решений бесконечно много (подходит любая точка \(X\) прямой \(a\), не лежащая на \(p\)).