Задание 411

Дано: прямые \(a\) и \(b\). Построить: прямую \(a_1\), симметричную \(a\) относительно \(b\).

Построение:

1. Отмечаем на \(a\) две точки \(X\) и \(Y\) (если \(a\) пересекает \(b\), одну из них берём в точке пересечения — она симметрична сама себе).

2. Для каждой точки, не лежащей на \(b\), опускаем перпендикуляр на \(b\) и откладываем за прямой \(b\) равный отрезок — получаем \(X_1\) и \(Y_1\).

3. Проводим прямую \(X_1Y_1\) — это \(a_1\).

Фигура, симметричная прямой, — прямая, проходящая через образы двух её точек.

Дано: прямые \(a\), \(b\), окружность с центром \(O\), прямая \(a_1\), симметричная \(a\) относительно \(b\). Построить: отрезок \(XY\), \(X \in a\), \(Y\) на окружности, \(b\) — серединный перпендикуляр к \(XY\).

Анализ. Если \(b\) — серединный перпендикуляр к \(XY\), то \(Y\) симметрична \(X\) относительно \(b\). Так как \(X \in a\), то \(Y \in a_1\). Значит, \(Y\) — общая точка прямой \(a_1\) и окружности.

Построение:

1. Отмечаем точку \(Y\) пересечения прямой \(a_1\) с окружностью.

2. Строим точку \(X\), симметричную \(Y\) относительно \(b\). Она лежит на \(a\), так как \(a\) симметрична \(a_1\).

3. Отрезок \(XY\) искомый.

Решений два, одно или ни одного — столько, сколько общих точек у прямой \(a_1\) и окружности (точки на самой прямой \(b\) не годятся: отрезок выродится в точку).