Задание 412

Дано: прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\). Построить: оси симметрии фигуры, состоящей из этих прямых.

Построение:

1. Строим биссектрису одного из углов, образованных прямыми \(a\) и \(b\) (циркулем и линейкой), и проводим прямую \(l_1\), её содержащую.

2. Через точку \(O\) проводим прямую \(l_2 \perp l_1\) — она содержит биссектрисы смежных углов.

Почему это оси. Отложим на луче прямой \(a\) точку \(A\), на луче прямой \(b\) — точку \(B\), \(OA = OB\). В равнобедренном треугольнике \(AOB\) биссектриса угла \(O\) — серединный перпендикуляр к \(AB\), поэтому \(B\) симметрична \(A\) относительно \(l_1\). Значит, луч \(OA\) переходит в луч \(OB\), а прямая \(a\) — в прямую \(b\) и наоборот. Для \(l_2\) рассуждение то же, с соседним углом.

Других осей в общем случае нет. Симметрия переводит прямую в прямую, поэтому ось \(l\) либо меняет \(a\) и \(b\) местами, либо переводит каждую из них в себя. В первом случае точка \(O\) (общая точка \(a\) и \(b\)) переходит в себя, а точка \(A\) луча прямой \(a\) переходит в точку \(B\) прямой \(b\) с \(OB = OA\), и \(l\) — серединный перпендикуляр к \(AB\), то есть \(l_1\) или \(l_2\). Во втором случае прямая \(a\) переходит в себя, только если \(l\) совпадает с \(a\) или \(l \perp a\); то же для \(b\). Прямая \(l\) не может быть перпендикулярна обеим пересекающимся прямым, поэтому остаётся \(l = a\), \(l \perp b\) (или наоборот) — это возможно, только если \(a \perp b\).

Итак, у двух пересекающихся прямых две оси симметрии, а если прямые перпендикулярны, осями служат также сами прямые \(a\) и \(b\) — тогда осей четыре.