Задача 1
Условие (кратко)
Начертите прямую l и отметьте точку A вне её. Постройте точку A₁, симметричную A относительно l, с помощью одного циркуля.
Решение
- Отметьте на прямой \(l\) две произвольные точки \(P\) и \(Q\).
- Проведите окружность с центром \(P\) радиусом \(PA\).
- Проведите окружность с центром \(Q\) радиусом \(QA\).
- Окружности пересекаются в точке \(A\) и ещё в одной точке — это и есть \(A_1\).
Почему: \(PA_1 = PA\) и \(QA_1 = QA\), то есть точки \(P\) и \(Q\) равноудалены от концов отрезка \(AA_1\). Значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к \(AA_1\), а через две точки проходит одна прямая — это прямая \(l\). Итак, \(l\) проходит через середину \(AA_1\) перпендикулярно ему: \(A_1\) симметрична \(A\).
Ответ
Точка A₁ — вторая точка пересечения окружностей с центрами на l, проходящих через A
Почему так
Точки оси симметрии равноудалены от симметричных точек, поэтому A₁ лежит на окружностях с центрами на l, проходящих через A.
Подробнее — в теме «Осевая симметрия».