Начертите отрезок AB и постройте его оси симметрии, если они есть.
Решение
У отрезка \(AB\) две оси симметрии.
Серединный перпендикуляр к \(AB\): постройте окружности одного радиуса с центрами \(A\) и \(B\) и проведите прямую через их точки пересечения. При симметрии относительно неё \(A\) переходит в \(B\), а отрезок — в себя.
Прямая \(AB\): каждая точка отрезка лежит на ней и симметрична сама себе.
Ответ
Две оси — серединный перпендикуляр к AB и прямая AB
Почему так
Серединный перпендикуляр меняет концы отрезка местами, а прямая AB оставляет каждую его точку на месте.
Начертите угол hk и постройте его ось симметрии, если она есть.
Решение
Ось симметрии неразвёрнутого угла — прямая, содержащая его биссектрису.
Проведите окружность с центром в вершине \(O\) угла; она пересечёт стороны \(h\) и \(k\) в точках \(A\) и \(B\).
Проведите окружности одного радиуса с центрами \(A\) и \(B\); пусть \(C\) — их точка пересечения внутри угла.
Прямая \(OC\) — ось симметрии: \(O\) и \(C\) равноудалены от \(A\) и \(B\), поэтому \(OC\) — серединный перпендикуляр к \(AB\), и луч \(h\) переходит в луч \(k\).
Если угол развёрнутый, у него две оси: прямая, на которой лежат стороны, и перпендикуляр к ней в вершине.
Ответ
Ось — прямая, содержащая биссектрису угла hk (у развёрнутого угла ещё и прямая сторон)
Почему так
Биссектриса делит угол пополам, и при перегибе по ней одна сторона угла накладывается на другую.
Начертите равнобедренный треугольник и постройте его оси симметрии, если они есть.
Решение
Пусть \(AB = BC\). Постройте серединный перпендикуляр к основанию \(AC\) (окружности одного радиуса с центрами \(A\) и \(C\)). Он пройдёт через вершину \(B\), так как \(BA = BC\). При симметрии относительно него \(A\) переходит в \(C\), а \(B\) остаётся на месте — треугольник переходит в себя.
Если треугольник не равносторонний, ось одна. Если он ещё и равносторонний — осей три.
Ответ
Одна ось — серединный перпендикуляр к основанию (проходит через вершину)
Почему так
Вершина равнобедренного треугольника лежит на серединном перпендикуляре к основанию, поэтому он — ось симметрии.
Начертите разносторонний треугольник и постройте его оси симметрии, если они есть.
Решение
У разностороннего треугольника осей симметрии нет. Пусть ось \(p\) есть. Вершины не лежат на одной прямой, поэтому какая-то вершина, скажем \(B\), не лежит на \(p\); симметричная ей точка — тоже вершина, скажем \(C\). Тогда \(A\) не может быть симметрична ни \(B\), ни \(C\), значит, она симметрична сама себе и лежит на \(p\). Ось \(p\) — серединный перпендикуляр к \(BC\), а каждая его точка равноудалена от \(B\) и \(C\): \(AB = AC\). Треугольник оказался бы равнобедренным — противоречие.
Ответ
Осей симметрии нет
Почему так
Треугольник с осью симметрии обязательно равнобедренный, а у разностороннего равных сторон нет.
Начертите равносторонний треугольник и постройте его оси симметрии, если они есть.
Решение
Равносторонний треугольник равнобедренный относительно любой стороны как основания. Поэтому серединный перпендикуляр к каждой стороне — ось симметрии; он проходит через противоположную вершину. Постройте серединные перпендикуляры к трём сторонам (окружностями одного радиуса с центрами в концах стороны) — получатся три оси, пересекающиеся в одной точке.
Ответ
Три оси — серединные перпендикуляры к сторонам
Почему так
Каждую сторону равностороннего треугольника можно считать основанием, и серединный перпендикуляр к ней — ось.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).