Могут ли точки A и A₁ быть симметричны относительно прямой p, если их расстояния до p равны 4 см и 6 см? Ответ обоснуйте.
Решение
Если \(A\) и \(A_1\) симметричны, то \(p\) перпендикулярна \(AA_1\) и проходит через его середину \(O\). Тогда \(AO\) и \(A_1O\) — перпендикуляры к \(p\), то есть расстояния от точек до \(p\), и \(AO = A_1O\). Расстояния 4 см и 6 см не равны, значит, точки не симметричны.
Ответ
Нет
Почему так
Симметричные относительно прямой точки одинаково удалены от неё.
Могут ли точки A и A₁ быть симметричны относительно прямой p, если их расстояния до p равны 7 см и 7 см? Ответ обоснуйте.
Решение
Могут. Например, опустим из \(A\) перпендикуляр \(AO\) на \(p\) (\(AO = 7\) см) и продолжим его за прямую на \(OA_1 = 7\) см. Тогда \(p\) проходит через середину \(AA_1\) и перпендикулярна ему — точки симметричны. (Равенство расстояний необходимо, но не достаточно: точки ещё должны лежать на одном перпендикуляре к \(p\) по разные стороны от неё.)
Ответ
Да (если они лежат на одном перпендикуляре к p по разные стороны от неё)
Почему так
Равные расстояния до оси не противоречат симметрии, если точки лежат на общем перпендикуляре к ней по разные стороны.
Могут ли точки A и A₁ быть симметричны относительно прямой p, если их расстояния до p равны 11,3 см и 11,4 см? Ответ обоснуйте.
Решение
Симметричные точки одинаково удалены от оси: ось делит отрезок \(AA_1\) пополам и перпендикулярна ему. Расстояния 11,3 см и 11,4 см различны, поэтому точки не могут быть симметричны относительно \(p\).
Ответ
Нет
Почему так
Симметричные относительно прямой точки одинаково удалены от неё.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).