Задача 1
Условие (кратко)
Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте симметричный треугольник A₁B₁C₁ и проверьте, что его стороны и углы равны сторонам и углам ABC. Повторите, когда p пересекает две стороны.
Решение
- Для каждой вершины постройте симметричную точку: перпендикуляр к \(p\) и такое же расстояние по другую сторону.
- Соедините \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\).
- Измерения покажут: \(A_1B_1 = AB\), \(B_1C_1 = BC\), \(C_1A_1 = CA\), \(\angle A_1 = \angle A\), \(\angle B_1 = \angle B\), \(\angle C_1 = \angle C\).
- Если \(p\) пересекает две стороны, одна вершина окажется по одну сторону от \(p\), две другие — по другую; симметричный треугольник частично наложится на исходный, но равенства сторон и углов сохранятся.
Объяснение: симметрия сохраняет расстояния, поэтому стороны равны, и треугольники равны по трём сторонам — значит, равны и углы.
Ответ
Стороны и углы треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам и углам ABC при любом положении p
Почему так
Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому симметричные треугольники равны по трём сторонам.
Подробнее — в теме «Осевая симметрия».