Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 45

Упражнение 389 к § 45

§ 45. Осевая симметрия и её свойства · тема: Осевая симметрия

Задача 1

Условие (кратко)

Лежат ли на одной прямой точки A₁, B₁, C₁, симметричные точкам A, B, C относительно некоторой прямой, если AB = 2 дм, AC = 10 дм, BC = 80 см?

Решение

Дано

$\(A_1, B_1, C_1\)$ симметричны $\(A, B, C\)$ ; $\(AB = 2\)$ дм $\(= 20\)$ см
$\(AC = 10\)$ дм $\(= 100\)$ см
$\(BC = 80\)$ см

Найти

лежат ли $\(A_1, B_1, C_1\)$ на одной прямой

Симметрия сохраняет расстояния: $\(A_1B_1 = 20\)$ см, $\(B_1C_1 = 80\)$ см, $\(A_1C_1 = 100\)$ см.
$\(A_1B_1 + B_1C_1 = 20 + 80 = 100 = A_1C_1\)$ . Если бы точки не лежали на одной прямой, по неравенству треугольника было бы $\(A_1C_1 < A_1B_1 + B_1C_1\)$ . Значит, $\(B_1\)$ лежит на отрезке $\(A_1C_1\)$ — точки на одной прямой.

Ответ

Да

Почему так

Если сумма двух расстояний равна третьему, точки лежат на одной прямой; симметрия эти расстояния не меняет.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Задача 2

Условие (кратко)

Лежат ли на одной прямой точки A₁, B₁, C₁, симметричные точкам A, B, C относительно некоторой прямой, если AB = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, CA = 6 см?

Решение

Дано

$\(AB = 1{,}1\)$ см
$\(B_1C_1 = 5\)$ см
$\(CA = 6\)$ см

Найти

лежат ли $\(A_1, B_1, C_1\)$ на одной прямой

Симметрия сохраняет расстояния: $A_1B_1 = 1{,}1$ см, $\(B_1C_1 = 5\)$ см, $\(C_1A_1 = 6\)$ см.
Если бы точки лежали на одной прямой, наибольшее расстояние равнялось бы сумме двух других. Но $1{,}1 + 5 = 6{,}1 \ne 6$ . Значит, точки на одной прямой не лежат (они — вершины треугольника, так как $\(6 < 6{,}1\)$ ).

Ответ

Нет

Почему так

Для трёх точек на одной прямой наибольшее расстояние равно сумме двух других, а 1,1 + 5 ≠ 6.

Подробнее — в теме «Осевая симметрия».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/p45/upr-389/