Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.
Решение
Дано: \(p\) — ось симметрии \(\triangle ABC\). Доказать: треугольник равнобедренный, \(p\) — серединный перпендикуляр к основанию.
- Вершины не лежат на одной прямой, поэтому хотя бы одна из них, скажем \(B\), не лежит на \(p\).
- Треугольник переходит в себя, и вершина переходит в вершину. \(B\) не симметрична себе, значит, она симметрична \(A\) или \(C\); пусть \(C\).
- Тогда \(A\) не может быть симметрична \(B\) или \(C\) (их пары уже заняты), значит, \(A\) симметрична себе и лежит на \(p\).
- Стороны \(AB\) и \(AC\) симметричны относительно \(p\), а симметрия сохраняет расстояния: \(AB = AC\) — треугольник равнобедренный с основанием \(BC\).
- Так как \(B\) и \(C\) симметричны относительно \(p\), прямая \(p\) — серединный перпендикуляр к \(BC\).
Ответ
Доказано: треугольник равнобедренный, ось — серединный перпендикуляр к основанию
Почему так
Одна вершина лежит на оси, две другие симметричны, поэтому боковые стороны равны, а ось — серединный перпендикуляр к основанию.
Подробнее — в теме «Осевая симметрия».